Devo usar "Obrigado" ou "Obrigada"?

Sim, alados, já ouvi muita gente usar esse adjetivo de forma errada. A palavra "obrigado", quando expressa agradecimento, significa que o indivíduo "se sente devedor por ter sido alvo de uma atenção ou favor". Por ser um adjetivo, deve concordar em número e gênero com o sujeito em questão, ou seja:

• No masculino, deve-se usar "obrigado";
• No feminino, deve-se usar "obrigada";
• Se uma pessoa agradece em nome de outros homens e mulheres (independente do sexo de quem fala), deve-se usar "obrigados";
• Se uma mulher agradecer em nome de outras mulheres, deve-se usar "obrigadas";

Agora, se o "obrigado" for um substantivo, ele nunca deve ser flexionado. Para saber se esse é o caso, basta ver se está acompanhado de um artigo, pronome, numeral ou adjetivo. Veja os exemplos:

Aquela ingrata foi embora e não deixou nem um obrigado.
Não pude deixar de dizer meu obrigado para eles.

Fontes de auxílio:
Português
ASCOM UFLA
Dicionário Priberam